Halaman
Modul Matematika Umum Kelas 11 Tahun 2020Materi Pokok Pembelajaran:PENYUSUNLimit, limit kiri, limit kanan, metode subtitusi, metode pemfaktoran, metode perkalian dengan sekawan, limit fungsi aljabar.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2LIMIT FUNGSI ALJABARMATEMATIKA WAJIB KELAS XI PENYUSUNIstiqomah, S.PdSMA Negeri 5 Mataram
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN........................................................................................................................................................2DAFTAR ISI.......................................................................................................................................................3GLOSARIUM......................................................................................................................................................4PETA KONSEP..................................................................................................................................................5PENDAHULUAN..............................................................................................................................................6A. Identitas Modul..............................................................................................................6B. Kompetensi Dasar..........................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi...............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul.........................................................................................6E. Materi Pembelajaran......................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1................................................................................................................8Pengertian dan sifat-sifat Limit Fungsi...............................................................................................8A.Tujuan Pembelajaran.....................................................................................................8B.Uraian Materi.................................................................................................................8C.Rangkuman..................................................................................................................14D.Latihan Soal.................................................................................................................15E.Penilaian Diri...............................................................................................................20KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.............................................................................................................21Limit Fungsi Aljabar..................................................................................................................................21A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................21B.Uraian Materi...............................................................................................................21C.Rangkuman..................................................................................................................29D.Latihan Soal.................................................................................................................29E.Penilaian Diri...............................................................................................................36EVALUASI.......................................................................................................................................................37DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................................................44
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMLimit:nilai pendekatan di sekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut.Limit Kiri:Pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiriLimit Kanan:Pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kananMetode Substitusi:menentukan nilai limit dengan mensubstitusi langsung batas limit ke dalam limit fungsi untuk limit tidak bentuk tak tentu.Metode pemfaktoran:menentukan limit bentuk tidak tentu dengan memfaktorkan pembilang dan atau penyebut agar dapat dilakukan metode substitusi.Metode Perkalian dengan Sekawan:menentukan nilai limit bentuk akar dengan mengalikan sekawan agar dapat dilakukan metode pemfaktoran.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPLimit FungsiPengertian Limit FungsiSifat-sifat Limit FungsiLimit Fungsi AljabarPenyelesaian dengan ara Substitusi Penyelesaian dengan cara PemfaktoranPenyelesaian dengan cara Mengalikan dengan akar sekawanPenerapan Limit Fungsi
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika WajibKelas:XIAlokasi Waktu:8x45 MenitJudul Modul:Limit Fungsi AljabarB. Kompetensi Dasar3.7 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional) secara intuitif dan sifat-sifatnya, serta menentukan eksistensinya.4.7Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar.C. Deskripsi Singkat MateriAnak-anak,Limitadalah salah satu bab yang terdapat di pelajaran matematika yang sering sekali dianggap rumit. Padahal pemahaman tentang limit diperlukan untuk lebih memahami deret geometri tak hingga, materi differensial, integraldan penerapan pada bidang ilmu yang lain. Oleh karena itu pada modul ini akan disajikan materi limit dengan cara yang sederhana, agarkalian dapat mengubah persepsinya bahwa mempelajari limit tidaklah sulit, selain itu pada modul ini akan dipelajari tentang limit fungsi aljabar yang meliputi limit fungsi secara intuitif, limit nilai tertentu dan limit nilai tak tentu. Materi limit ini sangat menarik karena dengan belajar limit kita akan mengetahui manfaat konsep limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari. D. Petunjuk Penggunaan ModulAnak-anakku sekalian, modul ini dirancang untuk memfasilitasi kaliandalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikancontoh-contoh soalyang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasanpadamodulini.5.Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaankalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Pengertian limit secara intuitif dan sifat-sifat limit fungsiKedua : Limit Fungsi Aljabar
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Pengertian dan sifat-sifat Limit FungsiA.Tujuan PembelajaranAnak-anak,setelah kegiatan pembelajaran 1 ini kalian diharapkandapat memahami tentang ...1.Pengertian Limit Fungsi 2.Sifat –Sifat Limit Fungsi B.Uraian MateriPengertian LimitFungsiAnak-anak,pernahkahkalianmencobamenghitungkecepatandanpercepatanyangdialamisebuahmobilyangbergerakselamatsekon?Jikapersamaangerakmobiltersebutmemenuhipersamaans(t)=(t2+4t)meter,makaberapakahkecepatandanpercepatanmobiltersebuttepatpadasaat 𝑡=3sekon?.PermasalahandiatasmerupakanpermasalahanpadabidangFisikayang pemecahannyamenggunakanbantuankonsep limit fungsi.Gambar 1. Mobil melaju dengan cepatSumber :https://images.app.goo.gl/YuzUW8udBUF4fZGD7Untuklebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut :Misalkan terdapat suatu fungsi𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥−2,𝑥≠2. Tentukan nilai lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)jika ada !Untuk menentukan limit fungsi aljabar di 𝑥→𝑎kita bisamenggunakan tabelseperti berikut.xmendekati 2 dari kirixmendekati 2 dari kananx1,81,91,991,999922,0000012,00012,0012,052,1f(x)3,83,93,993,9999...4,0000014,00014,0014,054,1f(x) mendekati 4f(x) mendekati 4Limit Fungsiadalah nilai pendekatan di sekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri maupun pendekatan dari kanan titik tersebut.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Jika kita subtitusi nilai-nilai 𝑥dari kiri maka nilainya akan mendekati 4, sedangkan jika kita subtitusi nilai-nilai x dari kanan maka nilainya akan mendekati 4 juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝟐=𝟒dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝟐=𝟒jadi𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝟐=𝟒Jika disajikan dalam grafik seperti berikutGambar 2: Fungsi 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥−2Sumber: koleksi pribadiJadi, nilai lim𝑥→2𝑥2−4𝑥−2=4adalah 4Secara matematis limit dapat didefinisikan sebagai berikut.Keterangan :-lim𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)dibaca limit 𝑓(𝑥)untuk nilai 𝑥yang mendekati 𝑎dari kanan (𝑥>𝑎)-lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥)dibaca limit 𝑓(𝑥)untuk nilai 𝑥yang mendekati 𝑎dari kiri (𝑥<𝑎)lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝐿artinya jika 𝑥mendekati 𝑎,tetapi 𝑥tidak sama dengan a, maka nilai 𝑓(𝑥)mendekati nilai 𝐿Jika fungsi 𝑓(𝑥)terdefinisi pada selang terbuka I, maka:a.lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝐿(ada) jika dan hanya jika lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥)=𝐿dan lim𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)=𝐿b.Jika lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥)=𝐿1dan lim𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)=𝐿2dimana 𝐿1≠𝐿2maka lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)tidak ada
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Biar makin paham simak contoh berikut ya...Pembahasan :Untuk menentukan limit fungsi aljabar di 𝑥→𝑎kita bisamenggunakan tabel seperti berikut.xmendekati 4 dari kirixmendekati 4 dari kananx3,93,953,993,999944,000014,00014,0014,014,1f(x)7,807,907,987,9998...11,0000211,000211,00211,0211,2f(x)mendekati 8f(x)mendekati 11Tabel di atas menunjukkan : 8)(lim4=−→xfxdan 11)(lim4=+→xfx(limit kiri ≠ limit kanan), sehingga )(lim4xfx→tidak ada.Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.Gambar 3: Grafik fungsi4untuk x ,324untuk x ,2)(+=xxxfSumber: koleksi pribadiTentukan limit f(x) untuk fungsi jika ada !Contoh Soal 1:Secara konsep dasar matematika, cara mengerjakan soal matematika yang ada limitnya,hanya tinggal mengganti/mensubtitusi variabel 𝒙menjadi angka yang didekati oleh 𝑥tersebut. Catatan :
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Pembahasan:Pada limit diatas, untuk mencari hasil nilai limitnya, kalian hanya tinggal mensubtitusi atau mengganti variabel 𝑥dengan angka 1, sehingga hasil limitnya menjadi lim𝑥→15𝑥3+7𝑥14+68𝑥5+4𝑥9−6=5.13+7.114+68.15+4.19−6=186=3Jadi, nilai limit tersebut adalah 𝟑(Jawaban: A)Sifat-sifat LimitFungsiMisalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati a, dengan k dan a adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif, makasifat-sifat limit fungsi antara lain:1.lim𝑥→𝑎𝑘=𝑘Contoh:lim𝑥→23=32.lim𝑥→𝑎𝑥=𝑎Contoh:lim𝑥→2𝑥=23.lim𝑥→𝑎[𝑘𝑓(𝑥)]=𝑘[lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)]Contoh:lim𝑥→23𝑥2=3[lim𝑥→2𝑥2]=3.(2)2=3.4=12Anak –anak, coba perhatikan limit fungsi di bawah ini lim𝑥→15𝑥3+7𝑥14+68𝑥5+4𝑥9−6Berapakah hasil nilai limit dari data diatas ? 𝐴. 3 𝐵. 0 𝐶. 7 𝐷. 6 𝐸. ∞Contoh Soal 2:
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN124.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥)]=lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)±lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)Contoh:lim𝑥→3(𝑥2+2𝑥)=lim𝑥→3𝑥2+lim𝑥→32𝑥=32+2.lim𝑥→3𝑥=9+2.3=9+6=155.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥).𝑔(𝑥)]=lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥).lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)Contoh:lim𝑥→2(𝑥2.𝑥)=lim𝑥→2𝑥2.lim𝑥𝑥→2=(−2)2.(−2)=4.(−2)=−86.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]=lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)≠0Contoh:lim𝑥→1[𝑥2+3𝑥+1]=lim𝑥→1𝑥2+lim𝑥→13lim𝑥→1𝑥+lim1𝑥→1=12+31+1=1+32=42=27.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)]𝑛=[lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)]𝑛Contoh:lim𝑥→1[3𝑥2−1]5=[lim𝑥→1(3𝑥2−1)5]=[3(1)2−1]5=[3−1]5=[2]5=32
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN138.lim𝑥→𝑎√𝑓(𝑥)𝑛=√lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑛𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛𝑛𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛𝑎𝑠𝑙𝑖,𝑛≥2𝑑𝑎𝑛√lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑛∈𝑅Contoh :lim𝑥→5√𝑥2+23=√lim𝑥→5(𝑥2+2)3=√lim𝑥→5𝑥2+lim2𝑥→53=√52+23=√25+23=√273=√333=333=31=3Itulahsifat-sifat atau teorema limit beserta contoh soal dan penyelesaiannya, semoga kalian paham ya denganapa yang sudah dijelaskan di atas.Untuk lebih jelasnya penggunaan sifat di atas perhatikan contoh berikut:Pembahasan: Anak –anak, pada soal diatas kita diminta untuk menerapkan sifat limit dan mencari nilai limit darilim𝑥→22𝑥+3𝑥2Pada limit fungsi diatas, kita terapkan sifat limit yang nomor 4ya, sehingga:lim𝑥→22𝑥+3𝑥2=lim𝑥→22𝑥+lim𝑥→23𝑥2=2∙2+3∙(2)2=4+3∙4=4+12=16Jadi, nilai hasil limitnya adalah 16(Jawaban: A)Anak-anak, coba perhatikan limit fungsi dibawah inilim𝑥→22𝑥+3𝑥2terapkan sifat limit dan berapa hasil nilai limit fungsi diatas? A.16B.7C.5D.2√2E.√3Contoh Soal 1:
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Pembahasan: pada soal diatas kita diminta untuk menerapkan sifat limit dan mencari nilai limit darilim𝑥→3(𝑥2−5)3=⋯Pada limit fungsi diatas, kita terapkan sifat limit yang nomor 7ya, sehinggalim𝑥→3(𝑥2−5)3=(lim𝑥→−3(𝑥2−5))3=((−3)2−5)3=(9−5)3=(4)3=64Jadi, nilai hasil limitnya adalah 64(Jawaban: D)C.Rangkuman1.Pengertian Limit FungsiLimit Fungsiadalah nilai pendekatan di sekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri maupun pendekatan dari kanan titik tersebut.Anak-anak,sekali lagiperhatikan limit fungsi dibawah inilim𝑥→−3(𝑥2−5)3=⋯terapkansifat limit dan berapa hasil nilai limit fungsi diatas ? A.4B.8C.27D.64E.81ContohSoal 2 :
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN152.Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar1.lim𝑥→𝑎𝑘=𝑘2.lim𝑥→𝑎𝑥=𝑎3.lim𝑥→𝑎[𝑘𝑓(𝑥)]=𝑘[lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)]4.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥)]=lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)±lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)5.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥).𝑔(𝑥)]=lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥).lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)6.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]=lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)≠07.lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)]𝑛=[lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)]𝑛8.lim𝑥→𝑎√𝑓(𝑥)𝑛=√lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑛𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛𝑓(𝑥)>0𝑑𝑎𝑛𝑛𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝3.Secara konsep dasar matematika, cara mengerjakan soal limit, hanya tinggal mengganti/mensubstitusi variabel 𝒙menjadi angka yang didekati oleh 𝑥tersebut.D.Latihan SoalAnak-anak untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalianterhadappengertian dansifat-sifatlimit fungsi aljabarkerjakan soal latihan berikut:Soal Pilihan Ganda1.Perhatikan tabel nilai 𝑓(𝑥)berikut.𝒙𝒇(𝒙)131,53,51,93,91,993,991,9993,999Nilai lim𝑥→2−𝑓(𝑥)=⋯A.1B. 2C. 3D. 4E. 5
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN162.Diketahui tabel nilai fungsi 𝑓(𝑥)untuk 𝑥mendekati 4 sebagai berikut𝒙𝒇(𝒙)21323,12,13,92,93,992,993,9992,999......4.........4,0013,0014,013,014,13,154Nilai lim𝑥→4𝑓(𝑥)=⋯A.2B. 3C. 4D. 5E. tidak ada3.Diketahui tabel nilai fungsi 𝑓(𝑥)untuk 𝑥mendekati 4 sebagai berikut𝒙𝒈(𝒙)-2-2-1,5-1,5-1,1-1,1-1,01-1,01-1,001-1,001-1,0001-1,0001......-1.........-0,9991-0,991-0,9101Nilai lim𝑥→−1𝑔(𝑥)=⋯A.-2B. -1C. 1D. 2E. tidak ada4.Nilai lim𝑥→5(−3)=⋯A.-5B. -3C. -2D. 2E. 35.Nilai lim𝑥→−2(𝑥−4)=⋯A.-8B. -6C. -4D. 0E. 26.Nilai lim𝑥→−1𝑥2−1𝑥−1=⋯A.-8B. -6C. -4D. 0E. 2
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN177.Diketahui fungsi 𝑓(𝑥)sebagai berikut𝑓(𝑥)={𝑥2−1,untuk𝑥<−2−2𝑥−1,untuk𝑥>2Nilai lim𝑥→−2𝑓(𝑥)=⋯A.-3B. -1C. 0D. 3E. tidak ada8.Diketahui𝑓(𝑥)=2𝑥−5𝑥+1. Nilai lim𝑥→1𝑓(𝑥)=⋯A.−72B. −32C. 32D. 72E. 59.Jika lim𝑥→3𝑓(𝑥)=5dan lim𝑥→3𝑔(𝑥)=9, nilai lim𝑥→−3𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)2𝑓(𝑥)=⋯A.4,1B. 3,1C. 1,4D. 1,3E. 1,010.Diketahui lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝑝, nilai lim𝑥→𝑎(𝑓(𝑥)+1)2−3𝑓(𝑥)adalah ...A.𝑝2+5𝑝+1B.𝑝2−𝑝+3C.𝑝2−𝑝+1D.𝑝2+𝑝+1E.𝑝2+𝑝+1
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18Pembahasan :1.Dari tabel terlihat untuk nilai-nilai 𝑥yang mendekati 2 dari kiri terlihat, nilai fungsi 𝑓(𝑥)semakin mendekati 4Jadi, lim𝑥→2−𝑓(𝑥)=4Jawaban : D2.Dari tabel terlihat fungsi 𝑓(𝑥)mendekati nilai 3 untuk nilai-nilai x mendekati 4 baik dari kiri lim𝑥→4−𝑓(𝑥)=3dan dari kanan lim𝑥→4+𝑓(𝑥)=3. Oleh karena lim𝑥→4−𝑓(𝑥)=lim𝑥→4+𝑓(𝑥)=3maka lim𝑥→4𝑓(𝑥)=3Jawaban : B3.Dari tabel terlihat bahwa untuk nilai-nilai 𝑥mendekati −1dari kiri, nilai fungsi 𝑔(𝑥)mendekati nilai −1. Artinya lim𝑥→1−𝑔(𝑥)=−1. Untuk nilai-nilai 𝑥mendekati 1dari kanan, nilai fungsi 𝑔(𝑥)mendekati nilai −1. Artinya lim𝑥→1+𝑔(𝑥)=1. Karena lim𝑥→1−𝑔(𝑥)≠lim𝑥→1+𝑔(𝑥)maka nilai lim𝑥→1𝑔(𝑥)tidak ada.Jawaban : E4.lim𝑥→5(−3)=−3karena berdasarkan sifat limit lim𝑥→𝑎𝑘=𝑘Jawaban : B5.Untuk menentukan lim𝑥→−2(𝑥−4)subtitusi nilai 𝑥=−2ke 𝑥−4seperti berikutlim𝑥→−2(𝑥−4)=−2−4=−6Jawaban : B6.Untuk menentukan nilailim𝑥→−1𝑥2−1𝑥−1bisa dengan mensubtitusi nilai 𝑥=−1sehingga diperoleh sebagai berikutlim𝑥→−1𝑥2−1𝑥−1=(−1)2−1−1−1=1−1−2=0−2=0Jadi, nilai lim𝑥→−1𝑥2−1𝑥−1adalah 0 Jawaban : D7.𝑓(𝑥)={𝑥2−1,untuk𝑥<−2−2𝑥−1,untuk𝑥>2Nilai lim𝑥→−2𝑓(𝑥)dapat kita cari dari pendekatan untuk nilai 𝑓(𝑥)dari kiri dan kananPendekata dari kirilim𝑥→−2−𝑓(𝑥)=lim𝑥→−2𝑥2−1=(−2)2−1=4−1=3Pendekatan dari kananlim𝑥→−2+𝑓(𝑥)=lim𝑥→−2−2𝑥−1
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19=−2(−2)−1=4−1=3Karena lim𝑥→−2−𝑓(𝑥)=lim𝑥→−2+𝑓(𝑥)=3, maka lim𝑥→−2𝑓(𝑥)=3Jadi, nilai lim𝑥→−2𝑓(𝑥)=3Jawaban : D8.Untuk mencari nilai lim𝑥→12𝑥−5𝑥+1dengan substitusi langsung seperti berikutlim𝑥→12𝑥−5𝑥+1=2(1)−51+1=2−52=−32Jadi, nilai dari lim𝑥→12𝑥−5𝑥+1adalah −32Jawaban : B9.Diketahui :lim𝑥→3𝑓(𝑥)=5lim𝑥→3𝑔(𝑥)=9, Diketahui : lim𝑥→−3𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)2𝑓(𝑥)=⋯Untuk menentukan nilai lim𝑥→−3𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)2𝑓(𝑥)bisa menerapkan sifat-sifat limkt fungsi seperti berikut.lim𝑥→−3𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)2𝑓(𝑥)=lim𝑥→−3𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)lim𝑥→−32𝑓(𝑥)=lim𝑥→−3𝑓(𝑥)+lim𝑥→−3𝑔(𝑥)lim𝑥→−32×lim𝑥→−3𝑓(𝑥)=5+92×5=1410=1,4Jadi, nilai lim𝑥→−3𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)2𝑓(𝑥)adalah 1,4Jawaban : C10.Diketahui lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝑝Untuk menentukan nilai lim𝑥→𝑎(𝑓(𝑥)+1)2−3𝑓(𝑥), kita gunakan sifat-sifat limit seperti berikutlim𝑥→𝑎(𝑓(𝑥)+1)2−3𝑓(𝑥)=lim𝑥→𝑎(𝑓(𝑥))2+2𝑓(𝑥)+1)−3𝑓(𝑥)}→=lim𝑥→𝑎{(𝑓(𝑥)2−𝑓(𝑥)+1)=lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)2−lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)+lim𝑥→𝑎1→=𝑝2−𝑝+1Substitusi nilai 𝑓(𝑥)dan 𝑔(𝑥)Gunakan sifat 6Gunakan sifat 4 untuk pembilang dan sifat 3 untuk penyebutJabarkan bentuk (𝑓(𝑥)+1)2Gunakan sifat 6
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20Jadi, nilai lim𝑥→𝑎(𝑓(𝑥)+1)2−3𝑓(𝑥)adalah 𝑝2−𝑝+1Jawaban : CE.Penilaian DiriAnak-anak isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.Kemampuan DiriYaTidak1.Apakah kalian memahamipengertian limit fungsi?2.Apakah kalian memahamisifat-sifat limit fungsi Aljabar?3.Apakah kalian dapatmenentukan limitfungsi Aljabardengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi Aljabar?Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka kaliandapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21KEGIATAN PEMBELAJARAN 2Limit Fungsi AljabarA.Tujuan PembelajaranAnak-anak setelah kegiatan pembelajaran 2ini kalian diharapkan dapat:1.Memahamilimit fungsi aljabar2.Menentukan nilailimit fungsi aljabar3.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabarB.Uraian MateriSecara konsep matematika, cara merubah bentuk limit yang hasilnya 00(bentuk tak tentu), kita menggunakan dua cara, yakni cara memfaktorkandan merasionalkan(mengalikan dengan akar sekawan). Mau tau caranya? Simak pembahasan selanjutnya ya...Nah berikutnyakita akan membahas metode penyelesaian limit bentuk tak tentu dengan pemfaktoran dan mengalikan dengan akar sekawan.Sebelum membahas contoh soal dengan pemfaktoran kalian harus tahu dulu bentuk hasil limit. Bentuk hasil limit dibedakan menjadi dua yaitu bentuk tentudan bentuk tak tentu.Dengan menggunakan metode substitusi, jika hasilnya bentuk tentu maka bentuk tentu itulah hasil limitnya. Tapi jika hasilnya merupakan bentuk tak tentu, maka harus diselesaikan dengan menggunakan metode faktorisasi atau mengalikan dengan akar sekawan.CatatanHasil limit Bentuk Tentu:(𝑎,𝑎𝑏,𝑎0=∞,0𝑏=0)dengan𝑎,𝑏∈𝑅Hasil limit Bentuk Tentu:(00,∞∞,∞−∞,∞∞)dengan𝑎,𝑏∈𝑅Anak –anak, jika kalian menemukan sebuah limit fungsi lim𝑥→2𝑥2−4𝑥−2dan disubtitusikan 𝑥= 2, maka hasilnya adalah 00. Dalam limit, ini tidak boleh dan harus diubah.Bagaimana cara merubahnya ya?
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22Agar kalian paham dengan hasil bentuk tentu dan tak tentu, perhatikan contoh-contoh berikut:Pembahasan:1.lim𝑥→15𝑥3=5.(1)3=5.1=5(bentuk tentu)2.lim𝑥→−14−3𝑥−2𝑥=4−3(−1)−2(−1)=4+33=73(bentuk tentu)3.lim𝑥→32𝑥−3𝑥−3=2(3)−33−3=6−30=30=∞(bentuk tentu)Khusus dalam limit, ketika hasil limitnya berbentuk 𝑎0maka nilainya sama dengan ∞, hal ini dikarenakan bentuk grafik fungsi 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥untuk x mendekati 0 nilainya mendekati ∞4.lim𝑥→14−4𝑥3𝑥=4−4(1)3(1)=4−43=03=0(bentuk tentu)Tentukan hasil limit berikut!1.lim𝑥→15𝑥32.lim𝑥→−14−3𝑥−2𝑥3.lim𝑥→32𝑥−3𝑥−34.lim𝑥→14−4𝑥3𝑥5.lim𝑥→2𝑥2−4𝑥−2Contoh Soal 1 :
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN235.lim𝑥→2𝑥2−4𝑥−2=22−42−2=4−42−2=00(bentuk tak tentu)Dengan substitusi hasilnya tidak ada bilangan yang memenuhi, sehingga harus diselesaikan dengan menggunakan metode lain.Nah pada contoh nomor 5 ini merupakan contoh soallimit yang bisa diselesaikan dengan metode pemfaktoran.•Menyelesaikan Limit dengan cara PemfaktoranAnak-anak sekarang kita coba menyelesaikan soal nomor 5 di atas dengan cara memfaktorkan𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝟐=lim𝑥→2(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−2)=lim𝑥→2𝑥+2=2+2=4Contoh Soal 1:𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐𝒙𝟑+𝟖𝒙+𝟐=...Dengan substitusi langsung diperoleh: lim𝑥→−2𝑥3+8𝑥+2=(−2)3+8−2+2=00(𝑡𝑎𝑘𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢)Dengan memfaktorkan:lim𝑥→−2𝑥3+8𝑥+2=lim𝑥→−2(𝑥+2)(𝑥2−2𝑥+4)(𝑥+2)=lim𝑥→−2(𝑥2−2𝑥+4)=(−2)2−(−2)+4=4+4+4=12ContohSoal 2:
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24Inilah contoh soal limit yang diselesaikan dengan cara pemfaktoran, baiklah selanjutnya kita akan belajar cara menyelesaikan limit dengan cara mengalikan dengan akar sekawan.Beberapa bentuk faktor istimewa: a2–b2= (a + b)(a –b)(a + b)2=a2+ 2ab + b2(a −b)2= a2−2ab + b2a3–b3= (a –b)(a2+ ab + b2)a3+ b3= (a + b)(a2−ab + b2)Penting untuk diingat....!𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏𝟐𝒙𝟐−𝒙−𝟑𝟑𝒙𝟐+𝟖𝒙+𝟓=⋯Dengansubstitusi langsung diperoleh: lim𝑥→12𝑥2−𝑥−33𝑥2+8𝑥+5=2(−1)2−(−1)−33(1)2−8(−1)+)5=2+1−33−8+5=00(𝑡𝑎𝑘𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢)Denganmemfaktorkan:𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏𝟐𝒙𝟐+𝒙−𝟑𝟑𝒙𝟐+𝟖𝒙+𝟓=lim𝑥→1(2𝑥−3)(𝑥+1)(3𝑥+5)(𝑥+1)=lim𝑥→12𝑥−33𝑥+5=2(−1)−33(−1)+5=−52ContohSoal3:𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎𝒙𝟑−𝟑𝑥2+𝟔𝒙𝒙𝟐+𝟐𝒙=⋯Dengan substitusi langsung diperoleh:lim𝑥→0𝒙𝟑−𝟑𝒙+𝟔𝒙𝟐+𝟐𝒙=lim𝑥→0൫03−3.0+6.0൯ቀ02+2.0ቁ=00(𝑡𝑎𝑘𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢)Dengan memfaktorkan diperoleh:lim𝑥→0𝑥3−3𝑥2+6𝑥𝑥2+2𝑥=lim𝑥→0𝑥(𝑥2−3𝑥+6)𝑥(𝑥+2)=lim𝑥→0൫𝑥2−3𝑥+6൯(𝑥+2)=൫02−3.0+6൯(0+2)=62=3Contoh Soal 4:
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25•Menyelesaikan Limit dengan cara Mengalikan dengan Akar SekawanAnak-anak ada suatu kondisi dimana suatu limit tidak bisa diselesaikan dengan cara substitusi ataupun dengan cara pemfaktoran, yaitu salah satunya adalah limit fungsi yang berbentuk akar.Sebelum kita membahas contoh soal di atas, kita ingat kembali bentuk-bentuk sekawandari bentuk akar.Pembahasan:lim𝑥→0𝑥√1+𝑥−√1−𝑥=lim𝑥→0ቀ𝑥√1+𝑥−√1−𝑥ቁ×1=lim𝑥→0ቀ𝑥√1+𝑥−√1−𝑥ቁ×൫√1+𝑥+√1−𝑥൯൫√1+𝑥+√1−𝑥൯=lim𝑥→0𝑥൫√1+𝑥−√1−𝑥൯×൫√1+𝑥+√1−𝑥൯൫√1+𝑥+√1−𝑥൯=lim𝑥→0𝑥൫√1+𝑥+√1−𝑥൯൫√1+𝑥൯2−൫√1−𝑥൯2=lim𝑥→0𝑥൫√1+𝑥+√1−𝑥൯(1+𝑥)−(1−𝑥)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎𝒙√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙Nah penyelesaian bentuk limit akar ini jika diselesaikan dengan substitusi langsung hasilnya 00(tak tentu), dengan metode pemfaktoranpun sangat sulit diselesaikan, jadi solusinya penyelesaian limit bentuk akar ini adalah diselesaikan dengan merasionalkan/mengalikan dengan akar sekawan. Baiklah langsung kita jawab ya...Contoh Soal 1:Kalikan dengan akar sekawan dari √1+𝑥−√1−𝑥perubahan penyebut dari bentuk rumus (𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎2−𝑏2Bentuk Sekawan dari :x –a bentuk kawan darix + abentuk kawan daribentuk kawan daribentuk kawan dariIngat..!
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26=lim𝑥→0𝑥൫√1+𝑥+√1−𝑥൯1+𝑥−1+𝑥=lim𝑥→0𝑥൫√1+𝑥+√1−𝑥൯2𝑥=lim𝑥→0൫√1+𝑥+√1−𝑥൯2=√1+0+√1−02=√1+√12=1+12=22=1Pembahasan:lim𝑥→3√3+𝑥−√2𝑥3−𝑥=lim𝑥→3(√3+𝑥−√2𝑥3−𝑥)×1=lim𝑥→3(√3+𝑥−√2𝑥3−𝑥)×√3+𝑥−√2𝑥√3+𝑥−√2𝑥=lim𝑥→3(3+𝑥)−(2𝑥)(3−𝑥)൫√3+𝑥+√2𝑥൯=lim𝑥→33−𝑥(3−𝑥)൫√3+𝑥+√2𝑥൯=lim𝑥→31൫√3+𝑥+√2𝑥൯=1√3+3+√2.3=1√6+√6=12√6×√6√6=112√6lim𝑥→3√3+𝑥−√2𝑥3−𝑥=⋯Nahpenyelesaian bentuk limit akar ini jika diselesaikan dengan substitusi langsung hasilnya 00(tak tentu). Jadi untuk menyelesaikan limit ini kita selesaikan dengan akar sekawan. Langsung saja kita bahas ya...Contoh Soal 2:Rasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan dengan √6Substitusi nilai x=3Substitusi nilai x=0Kalikan dengan akar sekawan
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27Aplikasi Limit FungsiSeperti yang sudah kita bahas sebelumnya, bahwa limit fungsi dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari seperti beberapa contoh berikut.Untuk lebih memahami aplikasi limit fungsitersebutperhatikan baik-baik contoh berikut.Pembahasan :𝑓(𝑡)=0,36𝑡2+0,6𝑡𝑓(5)=0,36(5)2+0,6(5)=0,36(25)+3=9+3=12Kecepatan perubahan pertambangan luas lempengan logam pada saat t=5 menit𝑣=lim𝑡→𝑡1𝑓(𝑡)−𝑓(𝑡1)𝑡−𝑡1=lim𝑡→5𝑓(𝑡)−𝑓(5)𝑡−5=lim𝑡→50,36𝑡2+0,6𝑡−12𝑡−5=lim𝑡→50,6(0,6𝑡2+𝑡−20)𝑡−5=lim𝑡→50,6(0,6𝑡+4)(𝑡−5)𝑡−5=lim𝑡→50,6.(0,6𝑡+4)=0,6.(0,6×5+4)=0,6(3+4)=4,2Jadi kecepatan perubahan luas lempengan logam adalah 4,2 cm2/menitAnak-anak ingat ya... tidak semua limit bentuk akar diselesaikan dengan mengalikan akar sekawan, sebelum menyelesaikan limit harus dicoba dulu dengan menggunakan substitusi, jika hasilnya bentuk tentu maka itulah hasilnya, tapi jika bentuknya tak tentu maka baru diselesaikan dengan cara lain.Catatan:Sebuah lempengan logam yang dipanaskan akan memuai dengan pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t)=0,36t2 +0,6t (cm2). Kecepatan perubahan luas perubahan luas lempengan logam tersebut pada saat t menit dirumuskan dengan 𝑣=lim𝑡→𝑡1𝑓(𝑡)−𝑓(𝑡1)𝑡−𝑡1. Tentukan kecepatan perubahan luas lempengan logam pada saat t=5 menitContohSoal 1:
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28Pembahasan:a.Nilai pendekatan v(t) untuk t mendekati 5 detiklim𝑡→5𝑣(𝑡)=lim𝑡→5(5𝑡−12𝑡2)=5×5−12×52=25−12,5=12,5b.Percepatan=𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛𝑘𝑒𝑙𝑎𝑗𝑢𝑎𝑛𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢Untuk waktu mendekati 3 detiklim𝑡→3△𝑣△𝑡=lim𝑡→3𝑣(𝑡)−𝑣(3)𝑡−3=lim𝑡→35𝑡−12𝑡2−10,5𝑡−3=lim𝑡→312(10𝑡−𝑡2−21)𝑡−3=lim𝑡→312(−𝑡2+10𝑡−21)𝑡−3=lim𝑡→312(−𝑡2+7)(𝑡−3)𝑡−3=lim𝑡→312(−𝑡+7)=12(−3+7)=2Sebuah mobil yang bergerak dengan kelajuan setiap saat dirumuskan dengan 𝑣(𝑡)=5𝑡−12𝑡2, v dalam m/detik dan t dalam detik. a.Tentukan nilai pendekatan kelajuan untuk t mendekati 5 detik.b.Tentukan percepatan (dalam m/detik) pada saat t mendekati 3 detikPercepatan=PerubahankelajuanPerubahanwaktu=△𝑣△𝑡(m/det2)Contoh Soal 2:
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.72020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29C.Rangkuman1.Untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar Langkah pertama adalah substitusi langsung, jika hasilnya bentuk tentu maka itulah nilai limitnya, jika substitusi langsung hasilnya bentuk tak tentu maka harus diselesaikan dengan cara lain yaitu metode pemfaktoranatau mengalikan dengan akar sekawan. 2.Bentuk hasil limit dibedakan menjadi dua yaitu bentuk tentu dan bentuk tak tentu.3.Tidak semua limit bentuk akar diselesaikan dengan mengalikan akar sekawan, sebelum menyelesaikan limit harus dicoba dulu dengan menggunakan substitusi, jika hasilnya bentuk tentu maka itulah hasilnya, tapi jika bentuknya tak tentu maka baru diselesaikan dengan cara lain.D.Latihan SoalAnak-anak untuk mengukur kemampuan pemahaman kalian terhadap penyelesaikanlimit fungsi aljabarkerjakan soal latihan berikut ya...Tentukan nilai limit dari:1.lim𝑥→02𝑥𝑥+2=⋯A.0B.1C.3D.9E.∞2.lim𝑥→4𝑥2−16𝑥2−𝑥−12A.57B.67C.87D.97E.1073.lim𝑥→3𝑥2−7𝑥+12𝑥2−4𝑥+3A.−14B.−12Hasil limit Bentuk Tentu:(𝑎,𝑎𝑏,𝑎0=∞,0𝑏=0)dengan𝑎,𝑏∈𝑅Hasil limit Bentuk Tentu:(00,∞∞,∞−∞,∞∞)dengan𝑎,𝑏∈𝑅